기하학의 재정의

기하학의 재정의

 

갈릴레오도, 프로이트도 혁명을 입에 올리 지 않았습니다. 과학사학자 버나드 코헨I. Bernard Cohen이 기록을 살살이 뒤져 자신의 연구를 혁명이라고 단언 한 과학자들을 찾아보았지만 다음과 같은 짧은 명단 밖에 만들 수 없었다 시머Symmer, 마라Marat, 라부아 지에Lavoisier, 폰 리비히von Liebig, 해밀턴Hamilton, 다원Da『win, 피르호Virchow, 칸토어Cantor, 아인슈타 인, 민코프스키 Minkowski, 폰 라우에von laue, 베게 너Wegener, 컴프턴Compton, 저스트Just, 왓슨Watson, 브누아 망델브로 바람 한 점 없는 어느 화창한 날 이 16명의 공상가와 괴짜 명단 맨 끝에 실린 사람이 매사 추세츠주 우즈홀 해양연구소에 나타났댜 그는 과학 강연과 해산물 파티를 하는 자리에서 자신의 특별한 혁명을알리려고했다 우즈휼 해양연구소를 둘러보던 그는 행사 일정표에 자신의 강연이 빠진 것을 발견하고 언짢은 기색을 보 였댜 강당에 들어서려는 순간 웬 젊은 여성이 가로막 으며 자기 아버지의 명함을 그의 손에 억지로 쥐어주 었었습ㄴ다. 

 

 

그때는 행사 일정표에 나오지 않았는데도 강당은 꽉 찼댜 맨 앞줄에는 연구원처럼 보이는 세 사람이 ‘망델브로 집합'을 컴퓨터로 표현한 그림이 실린 《사이언티픽 아 매리칸》을 보며 골똘히 생각에 잠겨 있었다 복소평면 에 표현되는 망델브로 집합'은 수학에서 가장 복잡한 연구대상으로 여겨진댜 그는 연사 소개에 귀 기울였 다(" .. 하버드대학에서 경제학을, 예일대학에서는 공학을, 아 인슈타인의과대학에서 생리학을 가르치셨습니다…"). 반소 매 셔츠 앞에 마이크를 끼워 고정시킨 뒤 자신 있는 말 투로 강연을 시작했다 “제 약력을 소개하는 말을 자주 듣습니다 그럴 때마다 내가 과연 실제로 존재하는 사 람인지 궁금해집니다 제 경력의 교집합은 공집합일 게 뻔하니까요." 사실 30년 동안 브누아 망델브로는 다양한 분야의 연구자 이름이 적힌 목록 속에 들어간적이 거의 없었다 그는 언제나 아웃사이더였다 비정 통적 접근법으로 수학의 비인기 분야를 파고들어 별 각른 인정을 받지 못했고, 논문을 발표하기 위해 자신 의 원대한 생각을 감추고 주류를 따라야 했다. 뉴욕주 요크타운 하이츠의 IBM 토마스 J. 왓슨 연구소 동료 가 전폭적으로 믿어준 덕분에 학계에서 살아남을 수 있었댜 61세의 망델브로는 지금 자신이 주도한 혁명이 전 진하는 모습을 보고 있습니다.

 

 

 

그 사람은 불규칙적이고 파편화 된 형태, 들쭉날쭉하고 부서진 것 같은 형태, 이를테면 눈결정의 곡선이나 은하계의 불연속적인 먼지 같은 형태를 설명하고 계산하며 사고하는 새로운 방법을 만들어냈다 그는 흉측하고 복잡한 이 형태들 속에 숨 은 조직화 구조를 꿰뚫어보는 혜안이 있었다 이제 그 혜안은 과학자가 자연세계를 바라보는 방법, 과학자 가 자연세계를 살필 때 발견하는 것을 뒤바꾸어놓고 있었다 망델브로의 발견은 괴상망측한 것이라는 말을 듣다 10년만에 어엿한 과학으로 발전했다 살펴봐야 할 것 이 많은 우주를 이야기할 때 필요한 새로운 언어를 제 공해주었다 물리학자, 화학자, 지진학자, 금속공학자,확률이론가, 생리학자, 경제학자 등이 그가 만든 도구 를 받아들였다. 이들은 지하 원유매장량 탐사, 증합체 제작, 강철 증강 등 온갖 영역에서 망델브로의 도구를 활용할 방법을 찾고 있는 중이다. 새로운 기하학이 출 현했다 그것은 자연 그 자체인 것으로 밝혀졌다 고전 기하학에서 형태는 선과 면 곡선과 구, 삼각 형과 원뿔 등을 말한다 형태는 실재를 추상적으로 나 타낸 것이며 플라톤의 조화의 철학에 강한 영향을 주 었습니다..

 

 

 

당연히 몇 가지 복잡한 형태는 잘못된 추상으로 드 러났다 망델브로가 즐겨하는 말에 따르면 구름은 구체가 아니다 산은 원뿔이 아니댜 번개는 직선으로 뻗어나 가지 않는댜 새로운 기하학은 둥글기보다는 약간 찌 그러지고, 매끈하기보다는 울퉁블통한 우주를 반영한 댜 오목하고 패이고 부서진 것, 비틀리고 얽히고 엮인 것의기하학이댜 자연의 복잡도는 무작위로 우연하게 일어나는 것이 아니라는 의심을 하고나서부터 이해되기 시작했다. 예를 들어, 번개가 나아가는 경로의 흥미로운 특징은 그 방향을 보여주는 직선이 아니라 방향이 급격하게 꺾이는 지점의 분포에서 찾아야 한다. 망델브로는 30 년 전 그때까지 잘 알려져 있지 않았던 수학을 손질했 고, 덕분에 특수한 유형의 복잡도가 상당히 밝혀졌다. 그는 이상하게 생긴 형태도 나름의 의미가 있다고 주 장한다 움푹 파인 형태, 뒤얽힌 형태는 유클리드 기하 학의 고전적 형태를 왜곡하는 결점 이상의 것일 수 있 댜 사물의 본질을 이해하는 열쇠가 될 수 있습니다..

 

 

 

지난 1975년 어느 겨울날 오후 망델브로는 자신이 분리 해낸 구조의 이름을 정하려고 아들의 라틴어 사전을 뒤진 끝에 부셔졌다는 뜻과 파편이라는 뜻이 담긴 ‘프 랙탈이라는 용어를 만들어냈다 갑자기 프랙탈이라는 말이 곳곳에서 들린다 물리 학을 비롯한 다양한 분야에서 프랙탈 학술회의가 대 유행이다. 몇몇 분야의 과학자들은 프랙탈이라는 개 념이 편리한 도구라고 생각한다. 프랙탈 개념의 전위 로 나서겠다고 확고한 태도를 밝힌 과학자도 여럿 눈 에 띈댜 한 물리학자는 그들을 가리켜 ‘프랙탈 마피 아’라고 부른다 국방부와 민간 기업은 프랙탈 연구에 점점 더 많은자금을지원하는증이다 IBM 수석연구원이자 하버드대의 수학 교수인 망델 브로는 상을 많이 받았댜 올해도 버나드 과학 공훈메 달을 탔댜 컬럼비아대학는 가장 가치 있는 ‘물리학이 나 천문학’ 발견을 한 사람이나 ‘인류의 편익을 증진할 목적으로 과학을 새롭게 응용한 사람’에게 5년마다 버 나드메달을수여한다 그러나 망델브로는 전과 다름없이 특이한 천재라는 소리를 듣는다. 어떤 과학자는 그가 역사에 이름을 남 기려는 욕심으로 가득하다고 비난했습니다.

 

 

그 사람이 학계를 향해 자신의 공로를 인정해달라고 협박한다며 블평한 댜 망델브로는 긴 시간을 영원한 이방인으로 지내며 과학연구의 내용은 물론 방법을 갈고 닦았다. 프랑스 에서는 폴란드계 이주자였고, 미국에서는 프랑스계 이주자였던 그는 기본적인 학교 교육을 받을 기회를 놓쳤고, 전통적인 학설의 주변부에 머물러야 했다 마 음 편하게 정붙일 곳이 어디에도 없었다. 이 분야 저 분야를 섭렵하며 아웃사이더만이 가능한 그런 통찰력 을기를수있었다 하버드대학 수학 교수 데이비드 B. 멈포드David B. Mumford는 “망델브로가 초지일관 견지한 관점은 사 람들은 사물의 이면을 바라블 수 있는 도구가 없어서 그릇된 가정에서 벗어나지 못한다는 것이었다. 망델 브로는 사람들이 사물의 전체 모습을 파악하지 못한 다고 보았댜 그는 누구나 사물을 그릴 수 있고, 그림 을 그리다 갑자기 사물의 진정한 모습을 이해할 수 있 을 것으로 생각했다 망델브로는 자신이 그려낸 사물 이 그렇게 아름다운 것으로 모습을 드러내리라고는 미처 예상하지 못했을 것이다"라고 말한다. 망델브로는 기하학자다 수학이 해석학, 측 함수의 조작과 방정식 풀이를 주요 방법으로 선호했을 때, 망 델브로는 추상적 문제를 생생하고 쉽게 알아볼 수 있 는 형태로 바꿔 시각적, 공간적으로 해결하려고 했다. 그의 연구는 감각에 많이 의존한다 망델브로는 “기하 학은 감각적이다. 감각에 의촌해 사물을 이해하려 한 댜

 

 

나는 사물을 시각적으로 이해하고 나서 공식을 만 들어낸다”고말한댜 상호관계를 고려하지 않고 엄격하게 구분되어 있는 학문 세계에서는 공통된 흐름이 나타나도 인식되지 못할 때가 있댜 그래서 새로운 유형의 복잡도에 대한 인식도 거의 한 세대에 걸쳐 느린 속도로 확산되었다. 망델브로의 프랙탈 연구도 어떤 현상 전반에 걸친 난 류와 무질서를 새로운 관점에서 연구하고 카오스를 이해하려는 혁명의 일부댜 카오스라는 통합적 개념 덕분에 특이한 현상을 관찰했지만 그것을 이해할 체 계적 방법이 없던 과학자들이 하나가되었댜 이제 그들은 카오스의 보편성을 인식하고 있다. 초 ,, 조건은 사물이 서로 융합하는 방식, 서로 갈라지는 방식, 완전히 산산조각 나는 방식을 연구하는 과학자 게게 도움이 된다. 프랙탈 기하학은 현미경으로 보이 는 울퉁불통한 표면, 석유를 함유한 다공성 암석의 작 은 구멍 지진으로 파괴된 풍경 등 온갖 사물을 바라보 는 방식이다 이제 왼쪽과 오른쪽, 앞과 뒤 사이의 대 칭이 아니라 작은 패턴, 큰 패턴, 더 큰 패턴 사이의 대 칭, 이를테면 브로콜리처럼 꽃 부분에서의 작은 갈라 짐이 줄기 부분에서의 커다란 갈라짐을 그대로 되풀 이하는 새로운 대칭, 자기유사성이 주목받고 있다. 프랙탈은 공간과 시간 속에서 사물이 무리 짓는 방 식, 이를테면 은하계의 밀도, 토성 고리의 위치,(일본 물리학계에서 나온 어떤 논문이 주장하는 바로는) 혼잡한 고 속도로의 차량 분포 등도 설명해준다고 합니다.

 

 

 

망델브로는 IBM에서 일할 때 전자전송회로의 잡음tI 즉 설명되지 않는 오류 문제를 검토해달라는 요청을 받은 뒤 상상 력이 비약적으로 발전했다. 기업에서 월급 받고 일하는 과학자로서는 다루기 힘들고 비용이 많이 드는 문제였다. 오류는 무작위적 이지 않았댜 무리를 이뤄 발생하는 경향이 있었다. 망 델브로는 초 단위나 시간 단위로 측정하면 무리를 이 루는 정도가 일정하다는 것을 깨달았다. 일정한 패턴 이 나타났고, 그 패턴에 대한 수학적 설명은 기이하게 도 19세기 면화 가격의 변동에서 2천 년 전 나일강의 범람에 이르는 다양한 문제에도 적용될 수 있을 것 같 았c~. 사물은 뜻밖에도 질서 있는 방식으로 불규칙성을 보인다 불규칙성은 다양한 규모로 자기유사성을 띤 댜 확대해서 가까이 들여다봐도 불규칙성은 사라지 지 않는다. 확대하기 전과 다름없는 것처럼 보인다 망델브로에 따르면 자기유사성 개념은 서구 문화에 깊이 뿌리박고 있댜 사실 아리스토텔레스로 거슬러 올라가는 서구 사상의 오랜 전통을 살펴보면 자기유 사성 개념을 쉽게 찾아블 수 있다. 라이프니츠는 물방 울 한 개 안에 우주 전체가 담겨 있으므로, 많은 물방 울 안에는 그만큼 새로운 우주가 담겨 있다고 생각했 댜 월리엄 블레이크William Blake는 ‘한 알의 모래 속 에서 세계를 본다'고 노래했습니다.

 

 

어떠한 과학자도 블레이크의 시처럼 아주 작은 것 안에서 세계를 보려는 경향이 있 댜 정자는 처음 발견되었을 때만 해도 호문쿨루스 Homunculus, 측 아주 작지만 사람의 형상을 완전하게갖춘 소인人으로 여겨졌댜 그러나 자기유사성은 과학의 원리로서 각광받다가 이내 시들해졌는데 그럴 만한 이유가 충분했댜 사실 과 부합하지 않았던 것이다 망델브로는 “자기유사성 이라는 오랜 신화가 완벽하게 실패한 탓에 세계는 가 까이 들여다볼 때마다 달라져 보인다는 정반대의 관 점이 득세하게 되었다. 나는 원자가 작은 태양계처럼 생겼다고 생각하지 않는댜 실제로도 그렇지 않다 그 러나 나는 적용 가능하다는 생각이 들면 언제든지 자 기유사성이라는 오랜 신화로 되돌아가려고 한다’’고 말한다. 자기유사성을 보이는 독특한 구조는 똑같이 생긴 것이 반복해서 포개져 있는 것처럼 보인다. 그래서 확 대할수록 그 모양이 더 자세하게 드러난다. 망델브로 는 조너선 스위프트Jonathan Swift의 다음과 같은 말 을즐겨인용했다 "박물학자는 큰 벼룩 한 마리를 관찰한다/큰 벼록 몸에는 작은 벼룩이 산다 큰 벼록의 먹잇감이다/작은 벼록 몸에는 더 작은 벼룩이 산다 더 작은 벼록은 작 은 벼록의 몸을 물어뜯는다/이 과정은 무한히 반복된 댜"