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수학이 두세계를 연결합니다
아인슈타인의 상대성 이론과 양자 이론을 포괄하는 수학 방법론 의 확대로 우주와 원자 세계 사이의 간극을 메울 수 있 게 됐다는 소식이 오늘 하버드 300주년 예술과학학 회 앞에서 발표되었다. 파리대학의 수학자 엘리 조세프 카르탕Elie Joseph Cartan이 아인슈타인의 상대성 이론을 가능하게 한 수 학에서 한층 더 심도 있게 발전한 새로운 수학을 처음 으로 소개했다. 그의 논문이 다룬 내용은 ‘비아핀 기 하학non-affine geometry에 대한 텐서 분석의 확대'인 데, 이는 현대 수학의 여러 발전 결과를 하나로 모아 새로운 통합체를 만들었댜 철학교수 루돌프 카르나프Rudolf Carnap가 선보인기고문은 ‘수학과 논리학의 진리’를 다루고 ‘새로운 형 식의 논리’를 제시했습니다.
그는 비엔나대학과 프라하대 학에서 일했고, 다음달부터 시카고대학의 교수가 될 것이라고 합니다. 수학과 논리학이라는 최고의 정신 영역에서 일어난 이런 도전은 미국수학회, 미국수학협회, 기호논리학협 회가 공동으로 주최하는 회의에 앞서 발표되었다. 현재 권위자들은 기고문들을 획기적이라고 표현하 면서도 내용을 이해하고 이러한 내용을 소화하려면 몇 달간의 집중 된 노력이 필요할 만큼 상당히 심오하고 난해하다고 보았습니다.
아인슈타인이 상대성 이론을 개발할 수 있었던 것 은 근대에 텐서 분석’이라는 수학 체계가 개발되었기 때문이다. 반면 폴 디랙Paul Dirac과 베르너 하이젠베 르크Werner Heisenberg 등이 개발한 새로운 양자역학 이론은 완전히 다른 수학 체계의 결과물이었다. 카르탕 박사는 텐서 분석을 확장시켜 처음으로 텐서 분석이 양자 이론에 적용되는 수학 체계들을 아우 를 수 있게 했다 따라서 그는 현대 과학의 가장 위대 한 문제가 해결되는 길, 물리적 세계를 이해할 수 있게 해주는 두 가지 위대한 사고 체계가 통합되는 길을 만 들었어 냈습니다.
인간 세계의 기저에 있는 통합된 원리에 대한 탐구 는 일찍이 인간의 커다란 지적 갈망 중 하나였다 그리 스 철학자 탈레스부터 지금까지 인간이 살고 있는 세 계가 가장 작은 원자부터 전체 별들과 은하에 이르기 까지 온 영역에 적용될 수 있는 보편적인 법칙의 지배 롤 받는다는 것은 인간의 직관적인 믿음이자 확신이 나다름없었습니다. 인간의 지적 역사에는 철학자들이 삼라만상을 지배 하는 근본적인 원리를 추구해서 그 목표를 달성했다 고 믿었던 때가 여러 번 있었다 그후 근대 과학의 등 장으로 인간의 지식이 우주 저 멀리로, 또는 깊숙한 원 자 속으로 확장되면서 보편적인 일원론에 대한 인간 의꿈이산산이부서졌다 실망스럽게도 극미하지만 무한한 원자의 세계를 듈 여다보는 통찰력을 가져다준 수학 법칙이 새로운 항 성과 은하 전체를 아우르는 원리와는 완전히 다르다 는 것을 알아냈기 때문입니다.
그래서 과학은 골치 아 폰 이원성과 맞닥뜨리게 되었다. 세상은 원자로 구성 되어 있지만 그 세계를 설명하는 데 두 가지 원리가 필 요하다 우주 전체에는 상대성 원리, 만물을 구성하고 있는 기본 단위(원자)의 세계에는 양자역학의 원리가 적용된다고 합니다. 따라서 수학 체계를 확장하여 두 이원 체계 사이에 서 빠진 부분을 이어주는 것이 과학에서 가장 중요한 관심사가되었댜 아인슈타인, 에딩턴 레비-치비타를 비롯한 세계적 인 수리물리학자 들이 300주년 학회에 참석 중이댜 그들은 통합을 추구하여 얻은 최신 결과를 논의할 것 으로 보입니다. 이러한 논의는 역사에 남을 만한 결실을 가져 올 것이다 카르탕 박사는 강연 후 아인슈타인과 함께 새로운 수학의 가능성에 대하여 논의하기를 기대했다 고말했다 카르탕 박사의 논문에서 일반 독자들이 이해할 수있는 것은 서문뿐입니다. 학회에 참석한 많은 전문가들 조차 카르탕 박사가 매우 깊은 수학의 바다에 뛰어들 어서 그의 논문을 이해하기 어렵다고 고백했습니다.
카르탕 박사는 “텐서 분석이 기하학과 수리물리학 에 크게 기여한 바를 굳이 생각할 필요가 있을까? G. 리치와 레비-치비타가 철대미분학이라는 이름의 감 탄할 만한 연구 도구를 만들어내지 않았다면 아인슈 타인이 일반 상대성 이론을 생각해내지 못했으리라는 건 누구나 알고 있다"고 말했다. 하지만 놀랍게도 텐서 분석은 리만 기하에, 특히 아핀 코넥 션이 있는 기하에 적용된다. 아핀 코넥션은 적용되면 서 일반 상대론의 발견을 만든 위대한 발견의 소산이 었댜 이런 진전은 텐서 분석에서 멈추지 않았다 투영기 하학 공형기하학, 접속기하학 등이 리만 기하학에 더 해졌다 기존의 투영기하학이나 공형기하학처럼 일반 적인 방식으로 몇 가지 클라인 기하학이 유클리드 기 하학에더해졌다고 합니다.
하지만 이런 일반적인 기하학에 텐서 분석을 적용 하는 것은 다소 어렵다 텐서 분석을 적용하려 하면 조 작이라는 인상을 주고, 실제와 정반대되는 경우에는 리치와 레비-치비타 이론의 외형을 유지하려 한다는 인상을준다. 카르탕 박사는 ‘‘ 강연에서 텐서 분석의 일반 이론 다시말해서 현재 상태의 미분기하학에 적용되는 이론을 만 들기 위해 어떤 관점이 전제되고 있는지 소개하겠다. 일반화된 미분기하학만이 일반적인 공간에 관한 이론 에 적용될 수 있고, 특히 속성이 같은 두 공간(동일한 기하학적 구조를 가진 공간)에 적용될 때는 필요충분조건 이된다”고말했다 카르나프 교수는 먼저 현대 수학의 방법이 불완전 하다고 한 비엔나대의 수학자 괴델K. Godel 박사의 연 구를 설명했다 그 다음으로 현재 수학적 논리에 있는 난점들을 제거하는 자신의 방법을 설명했습니다.
첫 번째 문제는 수학적 정리와 논리적 정리가 어떤 속성을 가지고 있는지를 설정하는 것입니다. 그렇게 하려면 사실적 진리와 형식적 진리를 구분해야 한다. 경험적 과학의 명제는 명제가 주장하는 사실이 존 재하느냐 존재하지 않느냐에 따라 참 또는 거짓이다. 수학언어와 논리언어로 된 명제는 사실을 주장하지 않습니다. 이런 명제는 언어체계의 법칙에 따라 참 또는 거짓이다. 측, 논리적 분석이 가능한 명제가 참이고 언 어체계의 법칙에 위배된 명제는 거짓이다 두 번째 문제는 수학의 체계를 구성하는 방법, 즉 ‘진정한 수학 명제’라는 개념을 정의하는 방법입니다. 기존의 증명 방식은 유한수의 전제를 가지고 약간의 기본 공리와 추론 규칙을 정해 놓은 상태에서 이루어졌다. 그런 수학 체계의 예를 들면 수학원리principia mathematica가 있다 하지만 괴델 박사의 연구결과에 따르면 그런 체계는 언제나 불완전하다. 카르나프 박사는 “그래서 우리는 새로운 유형의 규 칙을 적용하지 않을 수 없다. 새로운 규칙에 따라 정수 와 관련된 보편명제의 진리 개념은 쉽게 정의될 수 있 댜"고말했습니다.
그리샤(그리고리의 애칭) 페렐만, 그는 어디에 있을 ]}n 3년 전 상트페테르부르크에서 러시아 수학자 페렐 만이 푸앵카레 추측이라고 알려진 유명하고도 아주 어려운 수학 문제를 풀었다고 발표했다 그 추측은 공 간의 성질에 대한 것이었댜 페렐만은 인터넷에 짧은 논문 몇 개를 을리고 미국 전역에서 정신없이 잇달아 강연을 한 후, 2003년 봄 러시아의 숲으로 돌아가 자취를 감췄댜 어수선한 상 황을 정리하고 그의 말이 옳았는지를 증명하는 일은 전 세계 수학자의 몫으로 남겨졌댜 이제 수학자들은 그가 떠맡긴 일을 끝냈다고 말하고 있습니다. 그리고 그 증거는 난해한 수학으로 채워진 약 1,000쪽에 달하는 3권의 책으로 만들어졌다 난해한 수학으로 가득찬 그 책은 학자들 사이를 돌아다니고 있다. 결과적으로 수학자들이 수학만이 아닌, 인간 사고 의 신기원을 이루었다는 조심스러운 낙관론이 점점 커졌다 “정말 위대한 순간이댜 이런 일이 앞으로 100년 후에 일어날 수도 있고 다시는 일어나지 않을 수도 있 다" 지난 3년간 페렐만의 연구를 해석하는 일에 전념 했던 예일대학의 부르스 클라이너Bruce Kleiner가 말했습니다.
올 여름 베이징에서 열린 학회에서 하버드대학의 야우싱퉁Shing-Tung Yau은 푸앵카레가 제시한 3차원 공간에 대한 이해가 21세기 수학의 큰 축을 담당하고 있다는 연설을 했댜 야우 박사는 푸앵카레의 말을 인 용하며 "생각은 기나긴 밤에 한 번 번득일 뿐이지만 그렇게 불현듯 떠오르는 생각이 대단히 증요하다"고 말했댜 모두 그가 대성공을 거두었다고 생각하는 순간, 정 작 페렐만은 그 어느 곳에서도 보이지 않느다고 합니다. 그는 다음주 화요일 마드리드에서 국제수학연맹IMU이 소집 되면 수학계의 노벨상인 필즈 상을 받을 수 있는 가장 유력한 후보자이기도 합니다.
하지만 그가 나타날지는 아무도 예측할수없다 또한 미국 클레이 수학연구소가 푸앵카레 추측 증 명에 내건 100만 달러의 상금 역시 보류 중이댜 클레 이 수학연구소는 2000년 초에 7가지 미해결 문제를 선정하고, 제일 처음 이를 해결하는 사람에게 문제당 100만 달러의 상금을 수상하기로 했다. “이렇게 엄청난 결과를 발표하고 나타나지 않는 것 은 수학계에서 정말 이례적인 일"이라고 페렐만 연구 의 세부적인 부분을 보충한 학자의 일원이었던 컬럼 비아대학의 존 모건John Morgan이 말했다 1904년 프랑스 대학자 양리 푸앵카레Henri Poincare가 이 문제를 제안한 이래 수학자들은 100년 넘게 증명을 기다렸다 그리고 그들은 이 증명이 수학 과 물리학에 미치는 영향이 완전히 이해되려면 100년 이 더 지나야 할 것이라고 말한댜 지금은 예술이나 홍 미로운 새로운 오페라처럼 그저 아름다울 뿐이다.