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과학에게 질문하다
데니스 오버바이가 이번주 <사이언스 타임스 Science Times》에 실었던 푸앵카레 추측에 대한 기사 와 관련하여 몇몇 독자의 질문을 선정하여 답변했습니다.. Q. 푸앵카레 추측에 대한 기사에 ‘‘위상수학자에게 는 토끼가 원구나 마찬가지이다”라는 언급이 있었습니다. 그런데 제가 본 토끼는 입에서부터 항문까지 구멍 을 갖고 있습니다. 제가 보기에 토끼는 정말 도넛과 같 습니다―F. P. 캣츠 은 배설물과 관련된 좀 지저분한 이야기도 했습니다. 예. 실제로 살아 있는 토끼는 도넛과 같습니댜 사람, 벌레, 상어도 마찬가지입니댜 여러 독자가 지적했듯 이. 유기체에 소화기관이 발달하는 건 절대로 쉽게 이 루어지는일이 아닙니다 사실 변명을 하자면 소화기관을 미미한 것으로 보았다는 것은 인정합니다. 그리고 그 기사에 함께 실린 그림에 있는 토끼는 구멍이 하나도 없는 완전히 깨끗한 토끼 였습니댜 실제 토끼보다는 초콜릿 토끼나 디즈니 만 화에 나오는 토끼에 가깝습니다.
게다가 한 가지 말씀드리 자면 저는 토끼뿐 아니라 그 어떤 동물도 키워본 적이 없습니다 그래서 우리를 청소해야 한다든지 토끼 모 양 이상의 다른 것을 떠올릴 수 있는 경험을 해본 적이 없습니댜 한 수학자 친구는 저에게 그렇게 많은 독자가 그 문 제에 관한 제 말을 이해했다는 사실이 매우 고무적이 라고 말합니다. "이건 자네가 매우 기뻐할 일이야"라 고 이메일을 보냈습니다 "수많은 비수학자가 자네가 를 상상하기 힘듭니다 어떻게 하면 될까요?―C. 호르 위츠 A 제가 3차원 우주의 기본 기하구조를 머릿속으로 상상할 수 있다면, 그걸 종이에 그리라고 미술부에 압력을 가했을 겁니다. 하지만 여기를 보면 그런 상상이 뽕!'하고 튀어나을 것입니다.
몇몇 과학 사이트에서는 서스턴의 기하화 추측과 관련된 8가지 기하의 목 록이 있습니다 하지만 안심하기엔 이릅니다 아직 이 모든 기하가 잘 이해되지 않습니다 그래서 연구를 더 해야 합니다 100년이 더 걸릴 지 아무도 모릅니댜 Q. 리치 흐름과 끈 이론 사이의 연관성을 고려할 때, 푸앵카레 추측의 새로운 증명이 물리학에 어느 정 도까지 영향을 미칩니까?-A. 모건 Q. 당신의 기사는 푸앵카레 추측이 유명할 뿐 아니Q. 재미있는 기사 잘 봤습니다 하지만 저는 아직 푸앵카레 추측의 중요성이나 증명의 의미가 이해되지 않았습니다. 가량 예를 들어, 이런 새로운 발견이 우주여행을 앞당길까요? 경제에 응용될까요? 아니면 도전적인 체 스 문제에 오로지 체스 선수들만 관심을 가지듯 이 문 제 역시 수학의 관심사에 지나지 않을까요?
A 모든 사람이 하나같이 푸앵카레 추측이 참인 것 이 전혀 놀랍지 않다고 생각합니다. 놀라운 것은 추측 의 증명 방식입니댜 기존의 위상수학과는 상당히 거 리가 먼 수학을 이용하여 이질적인 분야와 기술 사이 에서 아무도 생각하지 못했던 관련성을 만들었습니 다. 1994년 앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정 리’를 멋지게 증명했을 때도 마찬가지였습니다 결국 이런 것이 물리학의 위상을 더 높여주었다는 것은 의심의 여지가 없습니다 문제는 일반적으로 수 프린스턴고등연구소의 물리학자이자 필즈 상 수상 자인 에드워드 위튼에게 이와 관련해 의견을 묻자 그는 푸앵카레 추측의 2차원 버전이 19 세기 중반 통찰력이 뛰어난 독일 수학자 베른하르트 리만이 곡면을 분류했을 때 증명되었던 것을 언급했 습니다 이제 그것은 일반 상대성 이론과 끈 이론에서 매우중요합니다. 최근 지난주 위튼 박사는 이메일로 “하지만 100년 전 독 창적인 수학 연구가 이루어졌을 때 그 누구도 앞으로 어떤 일이 일어날지 예상하지 못했습니다.
그래서 저 로서는 푸앵카레 문제가 결국 어떤 역할을 하게 될지 추측하기 어렵습니다”라는 입장을 밝혔습니다 Q. 당신은 리치 흐름을 ‘수학적 테크닉'으로 묘사합 니다. 그것은 방정식입니까? 리치 흐름은 메트릭(이 역 시 방정식이지요?)에 얼마나 정확하게 수학적으로 적용 됩니까? Q. "머그컵과 도넛 역시 같댜 각각 구멍이 하나씩 있고 원구와 같지 않기 때문이다”라고 말씀하셨는데, 머그컵에는 도넛과 위상적으로 똑같은 기존의 동그란 손잡이가 있어야 한다는 말을 덧붙였어야 하지 않을 7}~요? 제가 보기에 손잡이가 없는 머그컵은 원구(표면이 연 결되어 있지만 접혀 있는 머그컵을 팽창시킨 모습)로 변형될 수 있는 것 같습니다.
머그컵에 손잡이를 붙이면 원 구 위에 손잡이가 있는 것과 같아지고, 당연히 그것은 도넛과같습니다. 이건 당연히 형식 수학이 아닙니다. 제 머릿속에서 만화영화가 돌아가고 있는 것 같습니다. 저는 그런 상 상을 하며 1962년 10학년(한국의 고등학교 1학년-편집자 주) 때 처음으로 수학에 재미를 느꼈습니다. 수학 학사 학위를 받으려고 계속 수학을 공부했지만 얄궂게도(짐 작하셨겠지만) 위상수학(더 정확히 말하면 4학년 때 거만하 고 남을 무시하는 위상수학 교수)에 싫증이 나서 학위를있기 때문에 머그컵에 동그란 손잡이가 붙어 있어야 합니다. 위상수학 교수가 당신을 너무 일찍 놓아주었 군요 Q. 사과나 도넛의 둘레에 고무줄을 감고 잡아당기 는 예가 잘 이해되지 않습니다. 저처럼 과학을 모르는 사람에게는 이상해보입니다. 제가 사과 둘레를 감고 있는 고무줄을 잡아당기는 것을 상상하면, 고무줄이 사과 속으로 들어가기 시작해서 사과를 두 동강 냅니 댜 당신이 고무줄이 무한대로 수축될 수 있다고 말할 때나 도넛 구멍 때문에 고무줄이 더 이상 수축되지 못 한다고 말할 때 무슨 말인지 모르겠습니다.
이것을 다른 방식 으로 설명해줄 수 있나요?―R. 로드리게스 A 어떤 물체의 겉을 작은 올가미로 둘러싸고 있다 고 상상해보세요 올가미를 끝까지 조여서 매듭이 생 긴다면 물체의 표면에는 구멍이 없으니까 그 표면은 위상적으로 원구가 될 수 있습니다 하지만 도넛처럼에있습니댜 Q. 저는 공간의 성질에 대한 푸앵카레 추측에 관심 이 있어서 이 기사를 읽었습니다 이 증명의 의미는 고 사하고 정말로 이해했다고 생각하는 것만으로 사람들 이 저를 미쳤다고 여길까봐 걱정입니다. 그런데 이 수 학적 증명에서 실제로 말하는 바가 3차원 이상의 우주 가 원구임에 틀림없다고 말하고 있는데, 이것이 우주 의 두 곳을 잇는 웜홀 통로가 존재할 수 없다는 의미인 지 궁금합니다. 그건 말도 안 되는 소리 같습니다. 게 다가 시공간은 찢어질 수 없습니다. 구멍 난 시공간이 만들어내는 기하학 구조는 있을 수 없기 때문입니다.
만약 수학을 통해 물리학을 이해하려고 노력 중인 제 가 잘못된 방향에 서 있는 것이라면 제가 만족할 만한 답변을 해주시길 부탁드립니다―M. 노박 A 어려운 질문이군요 우리가 살고 있는 4차원 시 공간의 위상에 대하여 우리는 아직 모르는 것이 많습 각합니댜 Q. 당신은 앞으로 푸앵카레 추측에 관한 기사를 쓰 기 전에 가르시아디에고A. Garciadiego의 『버트런드 러 셀과 집합 이론과 ‘역설’의 기원Bertrand Russell and the Origins of the Set-Theoretic i@Paradoxesr』(1992) 을 꼭 읽어야 합니다. 교정은 엉망이지만 수학의 역사 에 신기원을 이룬 책입니다 푸앵카레가 집합론 때문에 역설이 생겼다고 생각해 서 그 역설을 피할 계획이었다는 점을 기억해보세요. 가르시아디에고의 책에서는 소위 역설이라고 알려진 것이 전혀 역설이 아니라는 것을 보여줍니다.
그 책들을 살펴 보면 바로 푸앵카레 추측의 목적에 의문이 생깁니다. 저는 당신이 그 추측 안에서 만들어진 집합의 성질에 어떤 전제들이 있고 의문을 일으키기에 충분하다는 것을 알게 되리라 생각합니다. 가르시아디에고의 책 을 읽고 나면 분명히 칸토어의 집합 개념에 문제가 상 당히 많다는 것을 알게 될 겁니다. 결국 저한테는 푸앵 A 저는 가르시아디에고의 책을 모릅니댜 알려주 셔서감사합니다. Q 푸앵카레 추측의 증명에 대한 당신의 최근 기사 는 정말 재미있었습니댜 매우 어려운 개념을 수학자 가 아닌 일반인도 약간이나마 이해할 수 있게 설명해 주었습니댜 모두 알다시피 위상수학은 화학 분야의 중심이었다고 합니다. 고대 그리스인들이 원자를 표면에 갈고리가 달 린 구로 묘사한 이래로, 물질의 속성에 관심 있는 사람 들은 믈질의 속성을 효과적으로 이해하고 묘사하기 위해 원자와 분자의 크기와 모양을 추상적인 이미지 로 나타내는 것이 필요하다고 생각했습니다 오늘날 우리는 그리스인들보다 원자 모양이 더 복잡하다고 알고 있습니다.