수학의 발전이 오랜 비밀을 파헤치다

수학의 발전이 오랜 비밀을 파헤치다

 

어떠한 놀라운 수학적 발견 덕분에 순수 수학에 속 하는 매듭이론의 연구자들이 매듭이론에서 가장 중요 한 문제, 측 어떻게 한 매듭을 다른 매듭과 분리하느냐 의 문제를 연구할 수 있게 되었다 동시에 화학과 분자생물학 과학자들은 꼬임, 즉 고 리 모양의 끈 같은 구조를 연구할 수 있는 새 도구를 규격화, 표준화, 이상화된 형태, 즉 3차원 공간 속 구 불구불한 1차원의 닫힌 끈이댜 수학자가 상상할 수 있는 자연의 본질적인 형태 중 하나이다. 매듭을 명명 하고 분류하고 이해하는 등의 문제는 상당히 어려운 것으로알려져있댜 DNA 사진들을 보면 매듭이 분명하게 보인다. 매듭 의 꼬임과 교차점은 분자 코팅 과정을 거쳐 전자 현미 경으로 관찰할 수 있습니다.

 

최근 매듭에 대한 수학적 이해 덕분에 생명체의 DNA 복제와 재조합 과정에서 한 구 조가 다른 구조로 변화하는 방식을 알 수 있는 단서가 생긴것같댜 미국국립보건원의 키요시 미즈치Kiyoshi Mizuuchi 는 "수학과 생물학의 흔치 않은 결합이다. 이런 결합이 없었다면 효소에 대한 확실한 정보를 얻을 수 없었을 것”이라고말했댜 무엇보다도 화학자와 분자생물학자는 매듭이론가 의 관점을 적용하면 실제의 중요한 측면을 이해할 수 있게 되었다는 것을 깨닫고 있다 유클리드 기하학은 매듭이론은 위상수학의 한 분야이다 길이와 양은 증 요하지 않댜 어떤 매듭을 자르거나 묶지 않고 구부리 거나 꼬거나 늘리거나 쪼그리거나 변형시켜 다른 매 듭을 만들 수 있다면, 그 두 매듭은 같은 것이다 가장 기본적인 위상수학의 원리는 증명하기 어렵습니다.

 

가령 예를 들어, 종이에 그린 매듭이든 끈으로 만든 매 듭이든 두 개의 매듭이 같은지 다른지를 결정하는 문 제는 통찰력을 요하는 수수께끼이댜 포장을 풀거나 헝클어진 실타래를 풀었던 사람이라면 누구나 잘 알 고 있는 문제지만, 수학자들은 거의 100년 동안 그 문 제의 핵심을 파고들었고 이제 그 문제는 현대 기하학 에서 이전보다 더 중요한 위치를 차지하는 것 같댜 런던 사우스뱅크대학 수학자 모웬 디슬트웨이트 Morwen B. Thistlethwaite는 “이 주제에는 많은 난점이 숨어 있댜 매듭 문제들은 설명하기는 쉽지만 풀기는 상당히 어렵고 이 문제를 푸는 기법들은 고도 의 이해력이 필요하다”고 한다 뿐만 아니라 매듭이론에서 중요한 문제는 얼핏 보써야 특정 매듭을 ‘자명한 매듭', 즉 원형매듭으로 만 들 수 있을까? 끈을 조금씩 움직여서 교차점의 수가 8 개가 되도록 만든 매듭의 풀림수는 2라는 것이 최근에 서야 밝혀졌고, 증명에는 300쪽에 달하는 난해한 분 석이 필요했다 다른 단순한 모양의 매듭들의 플림수 는아직밝혀지지않았다고 합니다.   

 

이러한 문제들에 대하여 현재 논의되고 있는 것은 더 이상 해답이 확실할 수 없을 만큼 뻔한 것일지도 모른 다는 것이다 한 번이라도 속임수를 쓰는 건 매듭 풀기 에 부적절한 것 같다. 두 매듭이 서로 달라 보이는 경 우, 몇 시간 동안 꼬인 걸 폴고 고리를 없애고 나면 같 은지 다른지 확실히 알게 될 거다. 경험적으로 알게 되 는 것이다. 어쩌면 인내심이나 재치만 있으면 해결할 수 있을 것이다. 수학자에게는 고리와 교차점의 패턴을 특정 순서에 따라 열거하는 방식이 필요하다. 매듭이 복잡해질수 록 복잡성이 크게 증가한다 세잎매듭이라고 알려진 가장 단순한 매듭은 교차점이 단 3개이다. 세잎매듭의 거울상을 제외하고는 교차점이 3개인 매듭으로는 유 일하다 마찬가지로 교차점이 4개인 매듭도 하나뿐이 고, 5개인 매듭은 두 가지뿐입니다.\

 

그러나 교차점이 10 개인 매듭은 165가지이며, 13개인 매듭은 모두 12,965가지이다 현재 교차점 13개 매듭까지 분류되 어 있다(2017년 현재 컴퓨팅 기술 발달로 교차점 16개까지 분류되어 있다 교차점 16개 이하 매듭은 170만 1936가지로 분류되고 있c~一편집자 주). 19세기 스코틀랜드의 물리학자 피터 거스리 테이트 Peter Guthrie Tait와 미국의 수학자 찰스 뉴튼 리틀 (Charles N. Little)이 매듭의 목록을 작성하는 대대적인 작업을 했댜 그 이래 수학자들은 한 매듭을 다른 매듭 과 구분하는 ‘불변량’ 혹은 기본 성질을 찾아내려고 했 댜 완벽한 불변량은 어떤 매듭 쌍도 구별해낼 것이다. 구분되지 않는 매듭을 구분해내는 특별히 효과적인 불 변량을 발견하는 것이었습니다. 과거 몇몇 연구팀에서 어떤 매 듭을 택하든 수와 변수로 구성된 다항식이라는 대수 식으로 변환시키는 규칙을 고안해냈댜 다항식은 매듭에 일종의 꼬리표 같은 역할을 한다. 매듭 자체와 달리 다항식은 보기만 해도 바로 구분된 다. 그래서 두 매듭의 다항식이 서로 다르면, 매듭들은 서로 다르댜 하지만 안타깝게도 두 다항식이 같다면, 매듭은 같을 수도 있고 같지 않을 수도 있다. 모든 위상수학 문제가 그렇지만 고리의 크기나 모 양은 중요하지 않다 중요한 것은 매듭의 교차점들의 방향이다. 즉 위로 향하느냐 아래로 향하느냐 그리고 다른 교차점들과 비교했을 때 어떻게 배치되어 있느냐가 중요합니다.  

1984년 UC버클리의 석좌 교수 본 존스Vaughan F. R. Jones-매듭 이론가가 아니라 대수학의 전문가이다 -가 새로운 다항식 불변량을 발견했고, 다른 수학자 들이 뒤를 이어 그의 발견을 더 깊이 파고들었다. 컬럼비아대학 버나드 칼리지의 매듭이론 권위자 조 안 버먼Joan 5. Birman은 새로운 다항식 블변량 발견 에 대해 매우 짜릿하고 놀라운 진전이라고 말했다. 그 는 "매듭이론에서도 중요하지만, 그 누구도 어떤 연관 성이 있을 거라고 상상하지 못했던 수학의 서로 다른 두 영역에서 가교 역할을 했기 때문에 더 중요한 의미 가있다"고말했다 다음주 캘리포니아 산타크루즈에서 열리는 학회에 서 다양한 분야의 수학자 300명과 몇몇 분자생물학 자가 이 새로운 진전에 대해 논의할 예정입니다.   

 그사람은“그것은 현재 수학계 전반에서 벌어 지고 있는 일의 전조이다. 수학의 각 분야가 각기 발전 하고 있다고 생각했을 때 서로 관련되어 있음이 서서 히 드러나고 있다 그 분야들은 모두 무리를 이뤄 빛나 기 시작하고 어떤 전체의 일부가 되기 시작한다”고 말 했다. 최신 기법들은 안타깝게도 효과적인 만큼 불가사의 한 면도 있댜 지금까지 매듭 이론가들은 최신 기법들 을 사용하면서도 왜 효과적인지를 완벽하게 설명할 수 없었다. 어찌되었든 물리적 구조를 추상적인 대수 식으로 변환시키는 과정이 매듭의 어떤 본질을 포착 하는 것은 틀림없지만., 정확히 그것이 무엇인지는 아무도 모르고 있습니다.

 

다른 의미에서는 수학자들이 새로운 발견 이면에 있는 대수식을 이해하는 것이지 기하학을 이해하는것이아니다. 버먼 박사는 "새로운 발견은 마술이다. 수학자들은 a~을 부리고 있다 이 다항식은 무언가를 파악하고 있지만 그것이 무엇이라고 말하기는 상당히 어렵다" 세잎매듭 이 플린 매듭과 다르다는 걸 증명하는 것조차 어려웠 고, 서로 다른 두 가지 매듭을 구분하기 위해 기존 방 식을 사용하면 어마어마하게 많은 계산이 필요했다. 이론상으로 수백만 시간이 걸릴 수 있었지만 새 로운 다항식들은 그렇지 않았다. 훨씬 빠른 해결이 가 능했다 "다항식들은 극도로 중요한 동시에 짜증날 정도로 단순하다 지난 20년 동안 매듭이론을 연구해본 사람 은 누구나 전에도 이런 다항식들을 본 적이 있을 것,, 이라고 아이오와대학의 수학자 조너선 사이 먼Jonathan Simon이 말했다 사이먼 박사는 추상적인 수학의 경계를 넘어 매듭이론이 화학에 미치는 영향 을 연구하기 시작한 몇 안 되는 수학자 중 한 사람이 입니다.

 

 사이먼 박사는 “이제 화학자들이 분자들을 만들기 시작했습니다.  공간에서 자리하는 방법은 위상 수학에 따라 달라진다. 형태가 구부러지지 않는 기하 학을 바탕으로 하지 않는다. 위상수학은 아름다운 그 림과 멋진 아이디어로 가득한 굉목이다 아이디어와 그림만으로도 매력적이지만, 알찬 내용도 있다”고 말 했댜 다른 화학X~과 생물학자들은 어떤 화학적 반응이 나 근육 세포의 배열을 통해 전파되는 특정 파동을 연 구하고 있습니다. 그렇게 ‘자극에 민감한 매체’에서는 자극 이 가해지면 연못의 파동이 바깥쪽으로 일렁이는 것 처럼 한 곳에서 다른 곳으로 퍼져나가는 반응이 일어 난다. 일례로 망막의 신경세포막이 있고, 심장 근육도 그렇다 이런 파동은 3차원 공간에서 기이한 모양을 취할 수 있고, 그 모양의 중심부는 매우 가느다란 단섬 유형태일수있다고 합니다.